Utrechts wiskundige kraakt kritisch fractalgetal

Hoe maak je een fractal? Teken een vierkant op een stuk papieren verdeel het in vieren zodat er vier kleine vierkanten ontstaan.Pak een dobbelsteen en gooi een keer voor elk vierkant. Als jeéén gooit maak je het vierkant zwart; bij de anderegetallen blijft het wit. De witte vierkanten verdeel je opnieuw invieren en je herhaalt voor elk vierkantje dat zo ontstaat hetdobbelspel. Zo ga je door, met steeds kleinere vierkantjes, tot zete klein zijn om ze nog verder te verdelen.

Wat zo ontstaat, is een grillig en brokkelig patroon, maar hetis erg waarschijnlijk dat in dit voorbeeld het wit in de figuuroverheerst. De kans om één te gooien is namelijk relatiefklein: eenzesde. Als je van tevoren afspreekt dat zowel bijéén als bij twee gooien het vierkant zwart wordt (eenkans van eenderde), dan worden aanzienlijke stukken van de figuurzwart, vaak zodanig dat je niet via witte vlakken van de ene kantvan het vierkant naar de andere kunt gaan.

Dit soort vierkante fractals zijn het werkterrein van deUtrechtse wiskundige Damien White. Onlangs heeft hij bewezen dathet omslagpunt voor het verschijnsel van de zwarte 'blokkade' zichinderdaad bevindt bij een kanswaarde die kleiner is dan eenderde:maximaal 0,1893 om precies te zijn. Computergegenereerdefractalplaatjes met een wit-zwart wisselkans boven die kritischewaarde, krijgen zwarte 'verstoppingen' die witte gebieden isoleren.De vinding is het belangrijkste onderdeel geworden van hetproefschrift waarop White aanstaande maandag promoveert.

Het type fractal dat White bestudeerde staat in debelangstelling bij geologen en fysici, als model voor poreuzematerialen. Maar er zijn meer natuurlijke structuren die alsfractal zijn te beschouwen. Een belangrijke overeenkomst van al diefractals is dat hun vorm onafhankelijk is van de schaal waarop jekijkt.

"Neem bijvoorbeeld de kustlijn van Noorwegen", zegt White. "Datis een behoorlijk kronkelige lijn. Maar als je daar een stukje vanneemt en je kijkt er naar op een gedetailleerdere schaal dan zie jeeen lijn die misschien wel net zo kronkelig is. Iemand dieNoorwegen niet kent zou niet kunnen zeggen welke lijn op welkeschaal getekend is."

Kustlijnen en de materiaalverdeling in poreus gesteente zijn dusvoorbeelden van fractals, maar ook het longoppervlak van demensvertoont fractalachtige kenmerken. Fractals hoeven niet perdefinitie hoekig en rommelig te ogen. De grote man uit de wereldvan de fractalwiskunde, Benoit Mandelbrot, heeft een collectiemooie, met de computer gegenereerde fractals aangelegd die ondermeer als design op stropdassen zijn te bewonderen.

Op White's tafel ligt een boek over fractaltheorie enfinanciële markten. White: "Aandeelkoersen hebben vaak eenheel grillig, fractalachtig verloop. Want als je op een stukje vanzo'n grafiek inzoomt blijft de grilligheid hetzelfde. Misschien ismet de fractalbenadering in de toekomst uit koersgegevens tedistilleren hoe betrouwbaar de beurs is."

Raster

Een vergevorderde toepassing van de fractalwiskunde is die vanhet in code omzetten van foto's: simpel gezegd zijn foto's enandere afbeeldingen als fractals te beschouwen. Doorfractaltheoriën erop los te laten is het mogelijk om eenplaatje in relatief eenvoudige wiskundige formules te beschrijven.Zo kan het in een hele korte code worden omgezet waardoor foto'sbijvoorbeeld veel sneller dan tot nu toe kunnen worden doorgezondenvia Internet.

Voor White en zijn collega's blijven fractals echter in deeerste plaats een wiskundige uitdaging. "Het is een soort spel",lacht White. "Fractals zijn heel eenvoudig te maken en toch heelingewikkeld om te beschrijven. Zelf heb ik dit onderdeel gekozenomdat het zo tastbaar is vergeleken bij de traditionele wiskundewaarin abstracte formules overheersen."

De opkomst van de fractalwiskunde de laatste decennia istrouwens mede mogelijk gemaakt door de snelle ontwikkelingen op hetgebied van computers. Computers herhalen moeiteloos duizenden malende procedures die nodig zijn voor het maken van fractals. Whiteheeft de computer bovendien nodig gehad om aan het bewijs voor hetomslagpunt te komen. Anders had hij een formule met tienduizendtermen op papier moeten uitwerken.

En voor het 'poreuze' fractal waarop White promoveert, was devondst van het getal 0,1893 een echte doorbraak. Tot dan toe was eralleen een bewijs dat het groter dan 0,01 en kleiner dan 0,29 moestzijn. Die onzekerheid verkleinen, was White's taak, maar het leekook hem lange tijd ondoenlijk. Iedere fractal, hoe eenvoudig ook temaken, is namelijk weer anders. Het aantal variatiemogelijkhedenneemt met iedere verfijningsstap dramatisch toe.

Maar White kreeg de ingeving om een soort wit raster over defractal heen te leggen waardoor de figuur en de berekeningen eraanzienlijk eenvoudiger uit gingen zien. Het ingenieuze ervan wasbovendien dat het raster op diverse plaatsen kunstmatige wittedoorbraken in de structuur forceerde. Daardoor werd de kans op dezwarte 'verstoppingen' kleiner.

In die 'lekke', vereenvoudigde fractal kon White zijn bewijsrond krijgen en vond hij de kritische waarde van 0,189, dietegelijk ook toepasbaar is op de originele, niet lekke fractal.Daarin zijn verstoppingen immers alleen maar makkelijker en ligthet omslagpunt dus zeker niet hoger.

Vergissing

"Sommige mensen hebben om filosofische redenen bezwaren tegeneen bewijsmethode met behulp van de computer", vertelt White. "Zevinden dat een bewijs klassiek gezien nu eenmaal iets is dat jekunt opschrijven en kunt lezen. Ik denk dat die zienswijze in demoderne wiskunde helaas niet langer vol te houden is. Veel bewijzenzijn te complex. Stel dat je een bewijs van honderden pagina's metde hand zou moeten uitwerken. Dan is de kans dat je daarin eenvergissing begaat vele malen groter dan dat de computer een foutmaakt. De praktijk is gewoon dat je nooit helemaal zeker bent."

White was inderdaad bang dat hij bij het schrijven van hetcomputerprogramma iets over het hoofd had gezien en heeft als testhet hele programma een tweede keer onafhankelijk door een studentlaten maken. Die gebruikte als extra proef op de som een andereprogrammeertaal dan White. Maar tot White's opluchting leverde datprecies hetzelfde getal op.

Frans van Mieghem