'Brouwer had lak aan de conventies van zijn tijd'

Body: 
Utrechtse emeritus schrijft biografie van tegendraadswiskundige

De grootste Nederlandse wiskundige sinds Huygens. Datis de reputatie die L.E.J. Brouwer in ons land en ver daarbuitengeniet. Onlangs voltooide prof.dr. Dirk van Dalen het eerste deelvan zijn biografie over de man die in de jaren twintig een zoeigenzinnig wiskundig systeem ontwikkelde dat de ware betekeniservan pas nu tot vakgenoten begint door te dringen.

Het leven is een toovertuin. Met wonderzacht blinkendebloemen, maar tusschen de bloemen loopen de kaboutermannetjes, daarben ik zoo bang voor, die staan op hun kop en het ergste is dat zemij toeroepen dat ik ook op mijn kop moet gaan staan, een enkelemaal probeer ik het, en ik schaam me dood; maar soms roepen dan dekabouters dat ik het heel erg goed doe, en toch ook een echtekabouter ben. Maar dat laat ik me in geen geval ooitwijsmaken.

Aldus wiskundestudent Luitzen Brouwer in 1906 in een brief aanzijn vriend, de dichter Adama van Scheltema. Een mooi citaat, vindtde Utrechtse emeritus-hoogleraar prof.dr. Dirk van Dalen. "Hetboeiende van Brouwer is dat hij niet alleen als wiskundige maar ookals mens volstrekt uniek is geweest en dat hij altijd heeftgeweigerd om zich iets van de andere 'kabouters' aan te trekken. Ikwas als student al onder de indruk van zijn wiskundige ideeën,maar van zijn persoon wist ik niet veel meer dan dat hij een koppigen eigenzinnig man was, die met iedereen ruzie maakte. Pas in dejaren zestig hoorde ik in Amerika voor het eerst al die kleurrijkeanecdotes, zoals bijvoorbeeld dat hij in Blaricum huisjes in zijntuin had staan waar hij, ondanks dat hij getrouwd was, vriendinnenliet wonen.

Gaandeweg werd ik steeds nieuwsgieriger en ben ik materiaal gaanverzamelen voor een biografie, uiteraard met het idee dat iemandanders dat boek zou schrijven. Maar niemand had tijd en toen ben ikhet zelf maar gaan doen in mijn vrije tijd. Vrijwel al mijnzomervakanties zijn de afgelopen twintig jaar in Brouwer gaanzitten. Gelukkig komt er nu wat meer belangstelling voor dit inmijn ogen zeer belangrijke stuk wiskundige geschiedsschrijving,zeker nu NWO heeft besloten om mijn Brouwerproject de komende vierjaar financieel te steunen."

Intuïtionisme

Van Dalen, emeritus-hoogleraar in zowel de logica als defilosofie van de wiskunde in Utrecht, mag zonder overdrijvingworden beschouwd als de grote pleitbezorger van de door Brouwerontwikkelde wiskunde. Niet verwonderlijk, want met zijnintuïtionisme presenteerde Brouwer een wiskundige theorie dieonverbrekelijk verbonden is met een op mystieke uitgangspuntengebaseerde 'filosofie'.

Van Dalen: "Brouwer stelt dat de mens op een soort absoluutnulpunt begint en zodra hij geboren is sensaties begint teondergaan. Al snel gaat hij daarin patronen herkennen en op basisdaarvan construeert ieder mens geleidelijk een voor hem of haaruniek beeld van de wereld. Behalve sensaties van buiten komen erechter ook sensaties van binnenuit. Daartoe behoren uitingen vancreativiteit en kunst, maar ook filosofie en wiskunde. VolgensBrouwer maakt elke mens dus als het ware zijn eigen wiskunde."

Volgens de meest gangbare opvatting is wiskunde een spel metformele symbolen dat niet noodzakelijk naar een werkelijkheidbuiten de wiskunde hoeft te verwijzen. Maar daarmee nam Brouwergeen genoegen, zegt Van Dalen. "Als je zegt dat er iets is, dan kunje volgens hem niet volstaan met een formeel bewijs zoals deklassieke wiskunde doet. Nee, je moet echt kunnen laten zien dathet bestaat. (zie kader) Een van de voornaamste consequenties vandeze opvatting van wiskundige correctheid is dat hij het sindsAristoteles algemeen geaccepteerde principe van de uitgeslotenderde afwijst.

"Volgens onze logica zijn er maar twee mogelijkheden: Of iets isrood, of het is niet rood. Dat logische uitgangspunt maakt in dewiskunde het bewijs uit het ongerijmde mogelijk: Als de ontkenningvan een bepaalde bewering onwaar is, dan is de bewering zelf perdefinitie waar. Brouwer vond dat een leeg begrip van waarheid. Hijvond dat de waarheid van een bewering pas mocht worden gaccepteerdals er een rechtstreeks bewijs voor kon worden geleverd. Omdat datniet altijd mogelijk is, komen in de intuïtionistische logicanaast ware en onware beweringen ook zinvolle beweringen voor meteen soort zwevende, onbesliste status. Het 'in principe waar ofonwaar zijn' wordt als zinloos beschouwd.

Het was overigens niet zo dat Brouwer de klassieke wiskundeverwierp. Hij noemde haar een prachtig en ook heel bruikbaar spelmet symbolen. Wat hij verwierp was de aanspraak van de klassiekewiskunde op uiteindelijke correctheid. Daarvoor kwam naar zijnmening alleen de intuïtionistische wiskunde inaanmerking."

In zijn boek besteedt Van Dalen uitgebreid aandacht aan hetgrondslagendebat uit de jaren twintig tussen Brouwer en devertegenwoordigers van de klassieke wiskunde onder leiding van deDuitse coryfee Hilbert. "Als je de geschiedenis overziet moet jeerkennen dat Brouwer die strijd verloren heeft. In de hedendaagsewiskunde speelt het intuïtionisme geen rol van betekenis. Datligt echter anders in de logica endaarmee ook in de informatica.Het interessante is dat in de jaren zeventig en tachtig duidelijkwerd dat de aanpak van Brouwer cruciaal is om aan te tonen datprogrammeertalen consistent zijn. Vandaar dat er op dit moment ookin Utrecht weer sprake is van een groeiende belangstelling voor hetintuïtionisme."

Landloperij

Hoewel Van Dalen veel tot nu toe onbekend nieuw wiskundigmateriaal presenteert, ziet hij zijn biografie in de eerste plaatsals document humain over een man die lak had aan de conventies vanzijn tijd en die zich bij voorkeur inliet met kunstenaars enschrijvers als Frederik van Eeden. Grinnikend vertelt de biograafhoe Brouwer in zijn studententijd een voettocht van Amsterdam naarRome maakte.

"Hij sliep tijdens zulke tochten altijd in de open lucht en werddaarom in Noord-Italië opgepakt wegens landloperij. De zaakwerd nog erger toen bleek dat hij een boekje bij zich had van hetAmsterdams Socialistisch Leesgezelschap. U kunt zich voorstellenhoe verbaasd de politie was toen hij op het bureau in vloeiendItaliaans uitlegde dat hij op weg was naar de grote Italiaansewiskundige Bianchi en nonchalant een uitnodigingsbrief uit zijnbinnenzak haalde."

Brouwer was volstrekt wars van conventies. Volgens een anderverhaal had hij van een vriendin gehoord dat een Amsterdamseapotheker een zeer aantrekkelijke dochter had. Dat meisje is zijnvrouw geworden, maar niet voordat Brouwer tegenover de apotheek ineen boom was geklommen om op zijn gemak te kunnen bekijken of zijer echt zo leuk uitzag als hem was verteld.

Dat de grote wiskundige een cynisch gevoel voor humor had, magtenslotte blijken uit het volgende verhaal: Tijdens een toerneedoor Amerika moest de chairman van een van de bezochteuniversiteiten hem meedelen dat de toegezegde fee niet kon wordenuitbetaald omdat de faculteit het bedrag niet had goedgekeurd. Zijnwraak was zoet. In plaats van de voordracht van één uurdie hij normaal altijd hield, is hij op deze universiteit twee uuronafgebroken aan het woord gebleven.

Erik Hardeman

(Dirk van Dalen, 'Mystic, Geometer, andIntuitionist: The Life of L.E.J. Brouwer, volume 1, The DawningRevolution. 448 pagina's. Introductieprijs tot 1 oktober 178,80gulden)


De macht van twee irrationale getallen

Het verschil tussen de klassieke en deintuïtionistischewiskunde kan goed worden duidelijk gemaakt aan de hand van hetvolgende probleem uit de getaltheorie. De vraag is of er tweeirrationale getallen (bijvoorbeeld wortels) A en B kunnen wordengevonden zodanig dat AB rationaal is.

In de klassieke wiskunde wordt die stelling als volgt bewezen:Neem voor A en B allebei fl. 2. Dan geldt dus: AB = ( fl. 2) fl. 2.Nu zijn er twee mogelijkheden:

1) ( fl. 2) fl. 2 is een rationaal getal, waarmee het bewijs isgeleverd.

2) ( fl. 2) fl. 2 is het irrationale getal C. Maar in datlaatste geval geldt dat AC rationaal is. AC is namelijk (( fl. 2)fl. 2) fl. 2. En dat is volgens een basale wiskundige regelhetzelfde als fl. 2( fl. 2* fl. 2) = ( fl. 2)2 = 2.

Hoewel deze redenering volgens de normen van de klassiekewiskunde als geldig mag worden geaccepteerd, verwerpt Brouwer eendergelijke bewijsvoering omdat niet duidelijk is welke van de tweeoplossingen de juiste is.