Sommetjes over veertig maagden in een boomgaard

Body: 
Middeleeuwse rekenboekjes ontleed

Marjolein Kool heeft een speurtocht ondernomen naarvijftiende- en zestiende-eeuwse, Nederlandstalige rekenboekjes.Gent, Brugge, Londen, Trier, Den Haag, Amsterdam... geenbibliotheek, museum of archief ontsnapte aan haar aandacht.Opbrengst: 36 schoolboekjes - deels handgeschreven - die jammerlijkondergestoft zouden zijn als zij ze niet boven water had gehaald.Ze onderwierp de rekenboekjes aan een grondig onderzoek, waarop zedinsdag 9 februari promoveert: 'Die conste vanden getale'.

"Die periode van de vijftiende, zestiende eeuw is interessantomdat men juist toen overging op een nieuwe rekentechniek", verteltKool. "In de Middeleeuwen werd er gerekend met penningen. Daarbijhad je geen rekentaal nodig. Om op te tellen of af te trekken legdeje penningen op lijnen, een soort schaakbord, waarna je deuitkomsten zo kon aflezen. Die werden dan vervolgens genoteerd inRomeinse cijfers. In de door mij beschreven periode komt echter hetrekenen in zwang zoals we dat nog steeds kennen: methindoe-arabische cijfers op papier."

Kools fascinatie voor het rekenonderwijs komt niet uit de luchtvallen: ze studeerde eerst wiskunde en Nederlands aan de UtrechtseHBO-lerarenopleiding (SOL). Vervolgens wierp ze zich naast eenparttime onderwijsbaan op de doctoraalstudie Nederlands aan de UU:"In die studie wilde ik mijn passies voor taal en voor wiskundecombineren. Daarom legde mijn hoogleraar dr. W.P. Gerritsen me eenrekenhandschrift uit 1532 voor, om te gebruiken bij mijndoctoraalscriptie. Dat onderwerp paste tevens in een'Bulkboek-project' waarmee Gerritsen in die tijd bezig was, deuitgave van 'Vensters naar Vroeger', over schoolvakken in deMiddeleeuwen. Ik heb in dat boekje het hoofdstuk over hetrekenonderwijs geschreven. Daarna ben ik op zoek gegaan naarméér, en dat is de basis geworden voor mijnproefschrift."

Nul

Vanwege de vernieuwingen in rekentechnieken was goed onderwijshierover hard nodig. Alleen al over het cijfer nul brak menigeenzich het hoofd. Op zichzelf drukt dat cijfer immers geen enkelewaarde uit, maar gevoegd bij een ander cijfer doet het de waardedaarvan tot een tienvoud stijgen. "Dergelijke heel elementairewetenswaardigheden vond de vijftiende eeuwer mateloosfascinerend",weet Kool. "Ende tot desen neghen letteren (cijfers)doetmen een 0, de welcke 0 in haer selven niet en doet (geen waardeheeft), maar sy doet dese neghen letteren doen tien werf meer dansy in haer selven doen...", aldus Christianus van Varenbraken uitzijn rekenboek van 1532.

Het 'nieuwe rekenen' is waarschijnlijk bedacht in Indië envan daaruit terecht gekomen in Arabië. Via twee routes is hetin de twaalfde eeuw in Europa beland: via Spanje, waar Arabischeteksten in het Latijn werden vertaald en via de Italiaan Leonardovan Pisa die zijn jeugd in Noord Afrika doorbracht en daar kennismaakte met de nieuwe cijfers. Hij schreef in 1202 het liber abacidat vervolgens voor veel reken-tractaten als voorbeeld heeftgediend.

"Leonardo voegde veel handelskennis aan zijn boek toe. Wellichtis dat de reden dat zijn werk ook in de Nederlanden navolging heeftgevonden. Het rekenen had in de handelsnatie die de Nederlandentoen begonnen te worden immers groot praktisch nut", weet Kool."Steeds méér mensen zoals kooplui, schippers endergelijke moesten kunnen rekenen, en het rekenwerk zélf werdsteeds complexer. Sommige handelaren bijvoorbeeld gooiden hunnegotie op één hoop. De ene handelaar legde zoveel in, deandere een ander bedrag. De winst na afloop van de transactie moestdan verdeeld worden naar evenredigheid van de inleg. Dan moest jekunnen delen, of in percentages kunnen rekenen. Dat soortrekenwerk, delen of worteltrekken bijvoorbeeld, waren moeilijkehandelingen om met penningen te verrichten. Het nieuwe rekenen booddaartoe veel betere mogelijkheden. Dat wil niet zeggen dat het ouderekenen opeens werd afgeschaft. De twee methoden bleven nog langetijd broederlijk naast elkaar bestaan. Zelfs eind zestiende eeuwwerd er nog penning-gerekend."

De introductie van het nieuwe rekenen werd mede bevorderd doorde papierprijs, die in die periode stukken lager werd, ennatuurlijk door de boekdrukkunst die verspreiding van boeken ingrotere oplagen mogelijk maakte. "Rekenen werd belangrijker omdater steeds minder in natura geruild werd en er steeds meer handelmet muntgeld plaatsvond", meent Kool.

Inzicht

De boekjes die Kool boven water haalde en bestudeerde, werden(behalve als hulpmiddel bij zelfstudie of als naslagwerk) vooralgebruikt in de zogeheten Franse scholen. "Die waren opgericht omdatmet name kooplieden zich beklaagden over de kwaliteit van hetonderwijs zoals dat gegeven werd door 'rekenmeesters'. Je had welde Latijnse scholen, maar die bereidden voor op een universitairestudie,en dat betrof in die dagen vooral de disciplinesgeneeskunde, rechten en theologie. Aan rekenen werd er weiniggedaan, en al zeker niet aan handelsrekenen. Universitair rekenenwas eerder een soort getalfilosofie, arithmetica. Op de Fransescholen daarentegen kreeg het rekenen, zoals kooplui dat nodighadden, betere kansen. Zoals Latijn in die dagen dewetenschappelijke voertaal was, zo was Frans de handelstaal en deFranse school dus een koopliedenopleiding."

Anders dan in de huidige rekenboekjes, waren de auteurs van dieoude boekjes niet geïnteresseerd in de logica achter deberekeningen. De 'waarom'-vraag of het overbrengen van 'inzicht'deden er niet toe, het ging vooral om de 'hoe'-vraag: ze gavenrecepten voor het oplossen van vraagstukjes. "Naarmate hetvervaardigen van boeken goedkoper en simpeler werd, werden dieboeken dikker", vertelt Kool. "Die omvang heeft vooral te maken methet aantal toepassingen en oefeningen. Je komt in sommigeexemplaren oneindig veel vraagstukjes tegen over winst- ofverliesberekeningen, erfenisverdelingen of handelstransacties.Meestal heel serieus en ontleend aan de kooplieden-praktijk, maardan opeens weer afgewisseld met in wonderlijke verhalen gegotensommetjes over drie jaloerse echtgenoten, veertig maagden in eenboomgaard of een man die een ton bier leegdrinkt. Vaak gingen dieverhalen terug op oude volksanekdoten. Ik denk dat ze er omdidactische redenen doorheen gestrooid zijn: de boog kan nietaltijd gespannen staan."

Afdivideren

Opmerkelijk aan de boekjes is voorts dat blijkt dat de'rekentaal' nog uitgevonden moest worden. Bij het penningrekenenwas nauwelijks sprake van 'taal', omdat het rekenen helemaalgevisualiseerd werd. Maar met het nieuwe rekenen was er opeensbehoefte aan uitleg, en dus aan woorden. De oudste boeken bevattendan ook hele lappen tekst, omdat iedere rekenhandeling 'omschreven'werd. Na verloop van tijd konden die omschrijvingen echtergecomprimeerd worden tot schematiserende 'termen'.

"Aanvankelijk putte men nog uit het Latijn, maar juist dieschoolmeesters hadden behoefte aan termen in de volkstaal", aldusKool. "Voor een woord als 'optellen' bestonden wel dertienverschillende aanduidingen: adderen, tellen voor, tegader tellen,vergaderinghe, tellen bi, tegader adderen, sommeringhe, tellentot... Nu proberen we zo exact mogelijk te zijn door maaréén benaming te gebruiken. Toen dacht men juisthelderheid te verschaffen door zoveel mogelijk variatie aan tebrengen, soms zelfs in één regel; dan zat er allicht weléén term bij die de gemiddelde lezer kongebruiken.Vrijwel elke auteur nam de rekentermen over uit het boek dat hemtot inspiratie had gediend, en voegde daar weer een aantal zelfverzonnen termen aan toe.

"In die hele berg zit óók de terminologie die wij nunog gebruiken, maar het is onduidelijk waarom sommige woorden -zoals delen of aftrekken - het 'gered' hebben, en andere woorden -zoals afdivideren of extraheren - niet. Die ontwikkelingsgang vande rekenterminologie zou een mooie vervolgstudie kunnen zijn."

Voor het basismateriaal heeft Kool, samen met Jeroen Fokker -een medewerker van de vakgroep Informatica - al gezorgd. Aan hetproefschrift is een diskette toegevoegd met alle rekentermen die zeis tegengekomen. Wie niet over het boek beschikt maar die termenwel wil raadplegen kan terecht op website:www.math.uu.nl/publications/theses/kool.

Armand Heijnen