Wiskundige raadsels voor beginners en gevorderden
"Het magische vierkant kun je zien als een puzzeltje. Een heel erg oude puzzel overigens. Op een ets van Dürer uit de 16de eeuw staat zo'n vierkant afgebeeld, en zelfs in de oudheid was men hier mee bezig. Het oudst bekende magisch vierkant komt uit China en is waarschijnlijk via India en Arabië naar Europa gekomen. Het magisch vierkant komt voort uit de interesse in getallen en regelmaat. Het is een vierkant gevuld met getallen. Als je de getallen horizontaal of verticaal bij elkaar optelt, is de uitkomst steeds dezelfde. De rijen en kolommen geven dus allemaal dezelfde som. Je mag een getal maar één keer gebruiken: als je een vierkant van drie bij drie maakt, gebruik je dus alle cijfers van een tot en met negen. Dat is de eenvoudige variant, die je als interessant puzzeltje op de basisschool kunt doen. Dan geef je bijvoorbeeld alvast mee dat de som vijftien moet zijn, en vullen de leerlingen het verder in. Er zijn regels voor het vullen van zo'n vierkant, bepaalde algoritmes geven de oplossing. Het helpt als je bijvoorbeeld weet dat het middelste getal in het midden moet staan. Dat geldt alleen voor oneven gevallen, bij even vierkanten gelden weer andere regels. Het magisch vierkant van Franklin is veel groter en ingewikkelder. Daar moeten bijvoorbeeld ook de diagonalen dezelfde uitkomst geven, en zijn ook andere patronen vereist. Die bleken bij het vierkant van de scholieren net niet allemaal uit te komen. Evengoed hartstikke knap dat ze uit zichzelf zo ver gekomen zijn."
Wat kun je met zo'n ingewikkelde cijfermatrix?
"De praktische wiskundige toepassing is niet erg groot. De manier van denken die je ervoor gebruikt, het systematisch benaderen en logisch redeneren, is echter essentieel voor de wiskunde. Die denkwijze kun je ook toepassen op andere problemen."
Zijn er onopgeloste raadsels die spannender zijn dan het magische vierkant?
"Intrigerend is het vermoeden van Goldbach. Al in 1740 formuleerde hij het vermoeden dat je elk even getal groter dan twee zou kunnen schrijven als de som van twee priemgetallen. Zo is vier de som van een en drie, en tien de som van zeven en drie. In één zin kun je dat vermoeden opschrijven, maar niemand heeft dat ooit nog kunnen bewijzen. Wel heeft een computer dit gecontroleerd voor alle even getallen tot 4 X 10 18, een vier met achttien nullen. Maar dat is niet hetzelfde als een bewijs. Met een bewijs voorkom je juist dat je alles zelf moet narekenen, het is een algemene methode waarmee je onomstotelijk vaststelt dat je theorie in alle gevallen klopt. En dat is bij dit vermoeden nog nooit iemand gelukt.
"Een nieuwer probleem is het vermoeden van Poincaré. dit is moeilijker in één zin uit te leggen, maar heeft te maken heeft met sferen, bolvormen, in meerdimensionale ruimtes. In augustus 2006 kreeg de Russische wiskundige Perelman een prijs voor zijn bewijs van dit vermoeden, die hij overigens weigerde. Zijn bewijs wordt nog nagerekend."
Zijn er recent wel andere mathematische vermoedens bevestigd?
"De laatste stelling van Fermat is in 1994 bewezen door Andrew Wiles. De Brit had zich zeven jaar lang teruggetrokken om tot dit bewijs te komen. Wetenschappers kunnen bepaald geobsedeerd raken door dit soort dingen. Fermat zei: de stelling van Pythagoras, dat je een kwadraat kunt schrijven als de som van twee andere kwadraten, werkt niet voor hogere machten. Een probleem dat net als bij Goldbach eenvoudig te formuleren is, dat is ook het mooie ervan. Ook als leek kun je het begrijpen en er al een beetje mee op weg. Maar de methode die het bewijs levert zal uiteindelijk meer dan één kantje beslaan, want zo simpel is het natuurlijk niet. Wiles' bewijs telde 100 pagina's. De wiskundige sloot zich op om te voorkomen dat collega's er achter kwamen dat hij dichtbij de oplossing was. Een wetenschapper die zoiets oplost, is op slag wereldberoemd. Ze zouden er eens met de roem vandoor kunnen gaan. Er zijn zelfs geldprijzen uitgeloofd voor oplossingen van dit soort wiskundige raadsels. Voor degene die de stelling van Poincaré weet te bewijzen, of een van zes andere onbewezen vermoedens, ligt een miljoen dollar te wachten. Zo kan wiskunde toch een hoop geld opleveren."
